L'equipement des formes --
quelques considérations autour des surfaces
par Robert Gergondey
Résumé
: La notion de genre
d'une surface est accessible à l'intuition
géométrique commune et aucune introduction à la
topologie des surfaces ne manque d'introduire cette notion
fondamentale. Mais le travail mathématicien ne peut se
satisfaire de cette intuition. L'amende est qu'on bute alors sur un
apparent paradoxe : alors que ce "genre" est censé ne
dépendre que de la topologie, sa (ou ses) définition(s)
et son calcul fait intervenir des "équipements" (constructions
ou structurations) qui font plus ou moins sortir du cadre initial, et
ces définitions requièrent des invariances qui ne sont
nullement évidentes et en tout cas non reliées à
l'action d'un groupe de symétries. De plus, le fait que des
équipements de nature très différentes a priori
conduisent à un seul et unique genre est souvent le bout de fil
qui, suivi intelligemment, conduit à certain des
théorèmes les plus profonds est assez troublant. Faut il
envisager de considérer les "équipements" en question
comme faisant partie de ces formes tout autant que les points, les
fonctions etc..Autrement dit, une forme deviendrait un objet "ouvert",
inachevé, analysable et compréhensible par ses
enrichissements.