Principe d’invariance hölderien pour des tableaux triangulaires de variables aléatoires^{∗}

Alfredas Račkauskas

Vilnius University and Institute of Mathematics and Informatics Department of Mathematics, Vilnius University Naugarduko 24, Lt-2006 Vilnius, Lithuania

Charles Suquet

Université des Sciences et Technologies de Lille Mathématiques Appliquées, F.R.E. CNRS 2222 Bât. M2, U.F.R. de Mathématiques F-59655 Villeneuve d’Ascq Cedex, France

Abstract

This paper extends Hölderian invariance principle by Lamperti (1962) to the case of partial sums processes based on a triangular array of rowwise independent random variables. As an application, necessary and sufficient conditions are obtained for the almost sure (resp. in probability) weak Hölder convergence of partial sums processes based on bootstraped samples.

Résumé

Cet article généralise le principe d’invariance hölderien de Lamperti (1962) au cas des processus de sommes partielles construits sur un tableau triangulaire de variables aléatoires. En application, on établit des conditions nécessaires et suffisantes pour la convergence hölderienne en loi presque sûre ou en probabilité des processus de sommes partielles construits sur les échantillons « bootstrapés ».

Keywords : bootstrap, functional central limit theorem, Hölder space, invariance principle, triangular array.

1 Introduction

Le principe d’invariance ou théorème limite central fonctionnel classique énonce la convergence en loi d’un processus de sommes partielles ξ_{n} vers le mouvement brownien W. Lorsque les trajectoires de ξ_{n} sont des lignes polygonales, le cadre topologique habituel pour cette convergence est l’espace C[0, 1] des fonctions continues sur [0, 1], muni de la norme du supremum. Or les trajectoires de ξ_{n} et celles de W ayant une régularité supérieure à la seule continuité, il peut être tentant d’utiliser comme support des trajectoires un sous-espace de C[0, 1] muni d’une topologie plus fine. Dans cette perspective, la première alternative à considérer est indubitablement l’échelle des espaces de Hölder H_{α}^{o} d’exposant 0 < α < 1/2, la borne 1/2 étant clairement imposée par la régularité de W (pour la définition de H_{α}^{o}, cf. la section 2). La question dépasse la simple curiosité théorique. En effet ce renforcement de la topologie fournit davantage de fonctionnelles continues des trajectoires, élargissant ainsi le domaine d’applications du principe d’invariance. Ceci se révèle utile dans certaines applications statistiques, en particulier pour la détection fine de ruptures de type épidémique [13, 14].

∗Recherche effectuée dans le cadre de l’accord CNRS/LITUANIE (4714)

Le premier principe d’invariance hölderien est dû à Lamperti [6] et traite le cas du processus polygonal ξ_{n} de sommets (k/n, n^{−1/2}S_{k}) où S_{k} := X_{1}+⋯+X_{k} et les X_{i} sont i.i.d. centrées. Sous l’hypothèse de finitude de E|X_{1}|^{p} pour un p > 2, Lamperti établit la convergence en loi de ξ_{n} vers W dans tous les H_{α}^{o} pour 0 < α < 1/2−1/p. Pour tester l’optimalité de sa condition de moment, Lamperti considère le cas d’une variable aléatoire symétrique X_{1} telle que P{X_{1} ≥ u} = cu^{−p(α)}, u ≥ 1 où p(α) est l’exposant critique défini par

p(α) := \frac{1}{1/2 − α}.  (1)

Il montre alors que la suite (ξ_{n}) n’est pas équitendue dans H_{α}^{o}.

Le théorème de Lamperti a été redémontré par Kerkyacharian et Roynette [5] en utilisant une autre méthode basée sur des résultats de Ciesielski [2] permettant l’analyse des espaces de Hölder comme espaces de suites à partir de leur décomposition sur la base des fonctions triangulaires. Erickson [3] a étudié le cas des processus de sommes partielles indexés par [0, 1]^{d}, Hamadouche [4] celui des suites stationnaires faiblement dépendantes (X_{n}). Les auteurs ont étendu dans [9] le principe d’invariance de Lamperti au cas d’une suite i.i.d. (X_{n}) d’éléments aléatoires d’un espace de Banach séparable B et des espaces de Hölder de fonctions [0, 1] → B bâtis à l’aide de poids ρ(h) = h^{α} ln^{β}(1/h). Par ailleurs ils ont montré [10] comment l’utilisation combinée de l’autonormalisation des sommes partielles et d’une construction adaptative des lignes polygonales permet un affaiblissement considérable de l’hypothèse de moment. Enfin ils ont donné [12] une C.N.S. pour la convergence hölderienne en loi de ξ_{n} vers un mouvement brownien, dans le cas où les X_{i} sont à valeurs dans un espace de Banach séparable B et où l’espace de Hölder concerné est construit à l’aide d’un poids de la forme ρ(h) = h^{α}L(1/h), L étant une fonction à variation lente. Dans le contexte du théorème de Lamperti, cette C.N.S s’écrit :

ξ_{n} ⟶_{H_{α}^{o}}^{loi} W si et seulement si lim_{t→+∞} t^{p(α)}P(|ξ_{1}| ≥ t) = 0.  (2)

Tous ces travaux concernent le cas de variables X_{k} de même loi. Dans cet article nous abordons pour la première fois le cas des tableaux triangulaires

(X_{n,k}, k = 1, …, k_{n}), n = 1, 2, …,

où les variables aléatoires d’une même ligne sont indépendantes. Nous supposons dans toute la suite que EX_{n,k} = 0, σ_{n,k}^{2} := var(X_{n,k}) = EX_{n,k}^{2} < +∞ et σ_{n,k} > 0 pour k = 1, …, k_{n}, n = 1, 2, … Posons S_{n}(0) = 0, b_{n}(0) = 0 et

S_{n}(k) = X_{n,1} + ⋯ + X_{n,k}, b_{n}(k) = σ_{n,1}^{2} + ⋯ + σ_{n,k}^{2},

pour k = 1, 2, …, k_{n}. Nous supposons aussi que b_{n}(k_{n}) = 1.

Considérons le processus Ξ_{n}(t), t ∈ [0, 1], construit par interpolation affine entre les points (b_{n}(k), S_{n}(k)), k = 0, 1, …, k_{n} :

Ξ_{n}(t) = S_{n}(k − 1) + σ_{n,k}^{−2}(t − b_{n}(k))X_{n,k}, pour b_{n}(k − 1) ≤ t ≤ b_{n}(k),

k = 1, …, k_{n}. Nous étudions la convergence en loi de ce processus dans le cadre fonctionnel des espaces de Hölder H_{α}^{o} définis comme suit. Pour 0 < α < 1, H_{α}^{o} est l’ensemble des fonctions réelles continues x : [0, 1] → ℝ telles que

lim_{δ→0} w_{α}(x, δ) = 0,

où

w_{α}(x, δ) := sup_{0<|t−s|<δ} \frac{|x(t) − x(s)|}{|s − t|^{α}}.

Cet ensemble H_{α}^{o} devient un espace de Banach séparable lorsqu’on le munit de la norme

∥x∥_{α} := |x(0)| + w_{α}(x, 1).

Nous nous restreignons dans tout cet article au cas 0 < α < 1/2.

L’article est organisé comme suit. La section 2 rappelle l’analyse des espaces de Hölder par la base des fonctions triangulaires de Schauder, menant au théorème d’équitension dans H_{α}^{o}. La section 3 concerne les résultats généraux dont les énoncés sont rassemblés dans la sous-section 3.1 et les démonstrations reportées aux sous-sections suivantes. La section 4 présente selon le même plan les applications au processus de sommes partielles construits sur les échantillons « bootstrapés ».

2 Préliminaires

Pour établir les principes d’invariance hölderiens, il est commode d’utiliser un procédé de discrétisation dyadique associé à la base des fonctions triangulaires de Faber-Schauder. Notons D_{j} l’ensemble des dyadiques de niveau j de [0, 1], i. e.

D_{0} = {0, 1}, D_{j} = {(2l − 1)2^{−j}; 1 ≤ l ≤ 2^{j−1}}, j ≥ 1

et D l’ensemble de tous les dyadiques de [0, 1], D = ∪_{j=0}^{∞}D_{j}. Posons pour r ∈ D_{j}, j ≥ 0,

r^{−} := r − 2^{−j}, r^{+} := r + 2^{−j}.

Nous indexons les fonctions triangulaires de Faber-Schauder par l’abscisse de leur sommet. Ainsi pour r ∈ D_{j}, j ≥ 1, Λ_{r} est la fonction définie par

Λ_{r}(t) := \{ \begin{matrix}2^{j}(t − r^{−}) & si t ∈ (r^{−}, r] ; \\ 2^{j}(r^{+} − t) & si t ∈ (r, r^{+}] ; \\ 0 & ailleurs. \end{matrix}

Dans le cas particulier j = 0, nous prenons

Λ_{0}(t) := 1 − t, Λ_{1}(t) := t, t ∈ [0, 1].

Si x est une fonction [0, 1] → ℝ, définissons ses coefficients de Schauder λ_{r}(x) par

λ_{r}(x) := x(r) − \frac{1}{2}(x(r^{+}) + x(r^{−})), r ∈ D_{j}, j ≥ 1

et λ_{r}(x) := x(r) si r ∈ D_{0}. Il est bien connu que si x est continue sur [0, 1], elle possède une décomposition en série de Schauder

x = ∑_{r∈D} λ_{r}(x)Λ_{r},  (3)

uniformément convergente sur [0, 1]. Ciesielski [2] a montré que si x appartient à l’espace hölderien séparable H_{α}^{o}, la convergence (3) a lieu pour la topologie forte de cet espace. De plus sur H_{α}^{o}, la norme hölderienne originelle ∥x∥_{α} est équivalente à une norme hölderienne séquentielle :

∥x∥_{α} ∼ ∥x∥_{α}^{seq} := sup_{j≥0} 2^{jα} max_{r∈D_{j}} |λ_{r}(x)|.  (4)

Il en résulte que (Λ_{r}, r ∈ D) est une base de Schauder (inconditionnelle) de H_{α}^{o}, ce qui avec l’équivalence de normes (4) nous permet de disposer du critère d’équitension suivant.

Théorème 1. La suite (Z_{n})_{n≥1} d’éléments aléatoires de l’espace de Hölder H_{α}^{o} est équitendue si et seulement si elle vérifie les deux conditions :

i) lim_{u→+∞} sup_{n≥1} P{|Z_{n}(0)| > u} = 0 ;

ii) pour tout ε > 0,

lim_{J→+∞} lim sup_{n→+∞} P{ sup_{j≥J} 2^{jα} max_{r∈D_{j}} |λ_{r}(Z_{n})| > ε} = 0.

Pour une preuve, nous renvoyons à [11].

3 Résultats généraux

3.1 Énoncés

Le premier théorème limite central fonctionel hölderien de cette section suppose l’existence de moments d’ordre q > 2 et généralise le théorème de Lamperti au cas des tableaux triangulaires.

Théorème 2. Si

lim_{n→+∞} max_{1≤k≤k_{n}} σ_{n,k}^{2} = 0  (5)

et si pour un certain q > p(α), où p(α) est défini par (1),

lim_{n→+∞} ∑_{k=1}^{k_{n}} σ_{n,k}^{−2αq}E|X_{n,k}|^{q} = 0,  (6)

alors

Ξ_{n} ⟶_{n→+∞}^{loi} W dans l’espace H_{α}^{o}.  (7)

Pour vérifier que le théorème 2 généralise celui de Lamperti, considérons le cas particulier où k_{n} = n, X_{n,k} = n^{−1/2}X_{k}, la suite (X_{k}) étant i.i.d. centrée, de variance EX_{k}^{2} = 1 avec E|X_{1}|^{q} < +∞ pour un certain q > 2. Comme σ_{n,k}^{2} = n^{−1}, (5) est trivialement vérifiée et (6) se réduit à la convergence vers 0 de n^{1−qα−q/2}, laquelle est automatique puisque q > 2. Ainsi la seule contrainte est q > p(α). Le théorème 2 nous dit donc dans ce cas que Ξ_{n} converge en loi vers W dans H_{α}^{o} pour tout α tel que α < 1/2 − 1/q, ce qui est précisément le résultat de Lamperti.

Pour affaiblir la condition de moment (6) dans le théorème 2, introduisons pour tout τ > 0, les variables aléatoires tronquées :

X_{n,k,τ} := X_{n,k}1{|X_{n,k}| ≤ τσ_{n,k}^{2α}}, k = 1, …, k_{n}; n = 1, 2, …

Théorème 3. Supposons vérifiées les conditions suivantes.

1. Pour tout ε > 0,

lim_{n→+∞} ∑_{k=1}^{k_{n}} P(|X_{n,k}| ≥ εσ_{n,k}^{2α}) = 0.  (8)

2. Pour tout ε > 0,

lim_{n→+∞} ∑_{k=1}^{k_{n}} EX_{n,k}^{2}1{|X_{n,k}| ≥ ε} = 0.  (9)

3. Pour un certain q > p(α),

lim_{τ→0} lim sup_{n→+∞} ∑_{k=1}^{k_{n}} σ_{n,k}^{−2αq}E|X_{n,k,τ} |^{q} = 0.  (10)

Alors la convergence en loi (7) a lieu.

Les conditions (8) et (10) remplacent (6) et sont évidemment plus générales. La condition de Lindeberg (9) assure que le tableau triangulaire (X_{n,k}) vérifie le théorème central limite. Elle implique aussi la condition de négligibilité infinitésimale (5).

Considérons maintenant le cas plus spécifique d’un tableau triangulaire dont les lignes sont des combinaisons linéaires à coefficients déterministes d’une même suite i.i.d. Soit donc (X_{k}) une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées et centrées, de variance EX_{k}^{2} = 1. Soit

a := (a_{n,k}, 1 ≤ k ≤ k_{n}, n ≥ 1)

un tableau triangulaire de nombres réels non nuls vérifiant

∀n ≥ 1, ∑_{k=1}^{k_{n}} a_{n,k}^{2} = 1.  (11)

lim_{n→+∞} max_{1≤k≤k_{n}} a_{n,k}^{2} = 0.  (12)

Notons Ξ_{a,n} le processus polygonal de sommes partielles bâti sur le tableau triangulaire (X_{n,k}), où

X_{n,k} := a_{n,k}X_{k}, k = 1, …, k_{n}, n ≥ 1.

Théorème 4. Supposons vérifiées les conditions suivantes.

∀ε > 0, lim_{n→+∞} ∑_{k=1}^{k_{n}} P(|X_{1}| ≥ ε|a_{n,k}|^{2α−1}) = 0.  (13)

M := sup_{t>0, n≥1} t^{p(α)} ∑_{k=1}^{k_{n}} P(|X_{1}| ≥ t|a_{n,k}|^{2α−1}) < +∞.  (14)

alors

Ξ_{a,n} ⟶_{n→+∞}^{loi} W dans l’espace H_{α}^{o}.  (15)

En outre la condition (13) est nécessaire pour la convergence (15).

Corollaire 5. Supposons que le tableau triangulaire a vérifie (11), que la suite (k_{n})_{n≥1} soit croissante, telle que

sup_{n≥1} \frac{k_{n+1}}{k_{n}} < +∞  (16)

et que

∀n ≥ 1, ∀k = 1, …, k_{n},  \frac{β}{k_{n}} ≤ a_{n,k}^{2} ≤ \frac{γ}{k_{n}} ,  (17)

pour des constantes strictement positives β, γ. Alors Ξ_{a,n} converge en loi vers W dans l’espace H_{α}^{o} si et seulement si

lim_{t→+∞} t^{p(α)}P(|X_{1}| ≥ t) = 0.  (18)

Ce corollaire généralise la C.N.S. (2).

3.2 Preuve du théorème 2

Remarquons d’abord que la condition (5) donne la négligibilité infinitésimale de (X_{n,k}). Comme q > p(α) > 2, on dispose de l’inégalité élémentaire

∑_{k=1}^{k_{n}} EX_{n,k}^{2}1\{|X_{n,k}| ≥ ε\} ≤ \frac{1}{ε^{q−2}} ∑_{k=1}^{k_{n}} E|X_{n,k}|^{q}.  (19)

Compte-tenu de (5), la condition (6) donne immédiatement la convergence vers 0 de ∑_{k=1}^{k_{n}} E|X_{n,k}|^{q}, laquelle implique avec (19) la condition de Lindeberg :

∀ε > 0, lim_{n→+∞} ∑_{k=1}^{k_{n}} EX_{n,k}^{2}1{|X_{n,k}| ≥ ε} = 0.

Le tableau triangulaire (X_{n,k}) vérifie donc le théorème limite central et le théorème limite central fonctionnel classique (cf. [1]), à savoir

Ξ_{n} ⟶_{n→+∞}^{loi} W dans l’espace C[0, 1].

Ceci nous donne en particulier la convergence des lois de dimension finie du processus Ξ_{n}.

Pour prouver l’équitension de (Ξ_{n})_{n≥1} dans H_{α}^{o}, nous utilisons le théorème 1. Puisque Ξ_{n}(0) = 0 nous devons seulement vérifier la seconde condition de ce théorème. Pour cela il nous faut prouver que pour tout ε > 0,

lim_{J→+∞} lim sup_{n→+∞} P (J, n, ε) = 0,  (20)

où

P (J, n, ε) := P {sup_{j≥J} 2^{αj} max_{r∈D_{j}} |Ξ_{n}(r) − Ξ_{n}(r^{−})| ≥ ε} .

Le traitement des différences |Ξ_{n}(r^{+}) − Ξ_{n}(r)| est bien entendu tout à fait similaire et sera omis.

Définissons pour t ∈ [0, 1],

u(t) := max{k ≥ 0 : b_{n}(k) ≤ t},

ce qui nous fournit l’encadrement

∀t ∈ [0, 1], b_{n}(u(t)) ≤ t < b_{n}(u(t) + 1).  (21)

Pour alléger les écritures, nous posons

Y_{n} := max_{1≤k≤k_{n}} σ_{n,k}^{−2α}|X_{n,k}|.

Pour tout t ∈ [0, 1], nous avons

Ξ_{n}(t) = S_{n}(u(t)) + \frac{t − b_{n}(u(t))}{b_{n}(u(t) + 1) − b_{n}(u(t))}X_{n,u(t)+1}.  (22)

Soit r ∈ D_{j}. Pour majorer |Ξ_{n}(r) − Ξ_{n}(r^{−})|, nous allons considérer les trois configurations possibles de r^{−} et r, relativement aux intervalles de la subdivision engendrée par les b_{n}(k). Les points r^{−} et r sont soit dans le même intervalle (cas 1), soit dans des intervalles adjacents (cas 2), soit séparés par au moins un intervalle de la subdivision (cas 3). Cas 1, u(r) = u(r^{−}). Alors clairement 2^{−j} ≤ σ_{n,u(r)+1}^{2} et

|Ξ_{n}(r) − Ξ_{n}(r^{−})| = σ_{u(r)+1}^{−2}(r − r^{−})|X_{n,u(r)+1}| ≤ Y_{n}2^{−jα}.

Cas 2, u(r) = u(r^{−}) + 1. Alors b_{n}(u(r^{−})) ≤ r^{−} < b_{n}(u(r)) ≤ r < b_{n}(u(r) + 1). L’identité (22) nous permet d’écrire dans ce cas :

Ξ_{n}(r) − Ξ_{n}(r^{−}) = \frac{r − b_{n}(u(r))}{σ_{n,u(r)+1}^{2}}X_{n,u(r)+1} + \frac{b_{n}(u(r)) − r^{−}}{σ_{n,u(r)}^{2}} X_{n,u(r)}.  (23)

Remarquons que dans cette configuration, le rapport (r −b_{n}(u(r))/σ_{n,u(r)+1}^{2} est un réel de [0, 1] et son numérateur r − b_{n}(u(r)) est majoré par r − r^{−} = 2^{−j}. L’exposant α étant inférieur à 1, on en déduit :

\frac{r − b_{n}(u(r))}{σ_{n,u(r)+1}^{2}} ≤ (\frac{r − b_{n}(u(r))}{σ_{n,u(r)+1}^{2}})^{α} ≤ 2^{−jα}σ_{n,u(r)+1}^{−2α}.  (24)

On obtient de même

\frac{b_{n}(u(r)) − r^{−}}{σ_{n,u(r)}^{2}} ≤ 2^{−jα}σ_{n,u(r)}^{−2α}.  (25)

Rassemblant (23), (24) et (25) nous arrivons pour le cas 2 à la majoration :

|Ξ_{n}(r) − Ξ_{n}(r^{−})| ≤ 2^{1−jα}Y_{n}.

Cas 3, u(r) > u(r^{−}) + 1. L’inégalité triangulaire combinée à une nouvelle utilisation de (24) et (25) nous donne

|Ξ_{n}(r) − Ξ_{n}(r^{−})| ≤ |S_{n}(u(r)) − S_{n}(u(r^{−}) + 1)| + 2^{1−jα}Y_{n}.

Ce dernier majorant étant aussi valable dans les cas 1 et 2, nous avons finalement (avec la convention ∑_{k∈∅} ≡ 0) :

∀r ∈ D_{j}, |Ξ_{n}(r) − Ξ_{n}(r^{−})| ≤ | ∑_{k=u(r^{−})+2}^{u(r)} X_{k}| + 2^{1−jα}Y_{n}.  (26)

Ceci nous conduit à introduire le découpage

P (J, n, ε) ≤ P_{1}(J, n, ε) + P_{2}(n, ε),

où

P_{1}(J, n, ε) := P{ sup_{j≥J} 2^{αj} max_{r∈D_{j}} | ∑_{k=u(r^{−})+2}^{u(r)} X_{k}| > ε/2},  (27)
P_{2}(n, ε) := P{|Y_{n}| ≥ ε/4}.  (28)

En notant que la condition (6) donne la convergence en probabilité de Y_{n} vers 0, la preuve de (20) se réduit ainsi à celle de la convergence :

lim_{J→+∞} lim sup_{n→+∞} P_{1}(J, n, ε) = 0.  (29)

Par l’inégalité de Rosenthal, nous avons avec une constante c = c(q),

E| ∑_{i=u(r^{−})+2}^{u(r)} X_{n,k}|^{q} ≤ c( ∑_{i=u(r^{−})+2}^{u(r)} EX_{n,k}^{2})^{q/2} + c ∑_{i=u(r^{−})+2}^{u(r)} E|X_{n,k}|^{q}.

En rappelant que par la définition de u(r) on a

∑_{k=u(r^{−})+2}^{u(r)} σ_{n,k}^{2} ≤ r − r^{−} = 2^{−j},

on aboutit facilement à

P_{1}(J, n, ε) ≤ \frac{c}{ε^{q}} ∑_{j≥J} 2^{(qα+1−q/2)j} + \frac{2^{q}c}{ε^{q}} ∑_{j≥J} 2^{αqj} ∑_{r∈D_{j}} ∑_{i=u(r^{−})+2}^{u(r)} E|X_{n,k}|^{q}.

La première de ces sommes ne dépend pas de n et tend vers 0 quand J tend vers l’infini parce que q > p(α). Notons I(J, n, q) la deuxième somme de ce majorant (sans la constante 2^{q}cε^{−q}). En changeant l’ordre de sommation, il vient :

I(J, n, q) = ∑_{k=1}^{k_{n}} E|X_{n,k}|^{q} ∑_{j≥J} 2^{αqj} ∑_{r∈D_{j}} 1{u(r^{−}) + 1 < k ≤ u(r)}.

Considérons pour k fixé l’encadrement

u(r^{−}) + 1 < k ≤ u(r).  (30)

Supposons qu’il existe un r ∈ D_{j} vérifiant (30) et soit r′ un autre dyadique de D_{j}. Si r′ < r, alors r′ < r^{−} d’où par croissance de u, u(r′) < u(r^{−}) + 1 < k, ce qui empêche r′ de vérifier (30). Si r′ > r, alors r^{′−} > r d’où k ≤ u(r) ≤ u(r^{′−}) < u(r^{′−}) + 1, ce qui empêche r′ de vérifier (30). Ainsi pour k fixé, il y a au plus un r ∈ D_{j} vérifiant (30). Lorsque cet r existe, la définition de u nous fournit l’encadrement :

r^{−} < ∑_{i=1}^{u(r^{−})+1} σ_{n,i}^{2} < ∑_{i=1}^{k} σ_{n,i}^{2} ≤ ∑_{i=1}^{u(r)} σ_{n,i}^{2} ≤ r,

d’où l’on tire immédiatement l’inégalité σ_{n,k}^{2} ≤ 2^{−j}. Par conséquent

∀k = 1, …, k_{n}, ∑_{r∈D_{j}} 1{u(r^{−}) + 1 < k ≤ u(r)} ≤ 1{2^{−j} ≥ σ_{n,k}^{2}},

ce qui nous donne

∑_{j≥J} 2^{αqj} ∑_{r∈D_{j}} 1\{u(r^{−}) + 1 < k ≤ u(r)\} ≤ \frac{2^{qα}}{2^{qα} − 1}σ_{n,k}^{−2αq}.  (31)

On en déduit finalement

∀J ≥ 1, ∀n ≥ 1, I(J, n, q) ≤ C ∑_{k=1}^{k_{n}} σ^{−2αq}E|X_{n,k}|^{q},

pour une certaine constante C = C(α, q) et on conclut grâce à la condition (6).

3.3 Preuve du théorème 3

La convergence des lois de dimension finie de Ξ_{n} résulte de la condition de Lindeberg comme dans la preuve du théorème 2. Il nous reste à établir l’équitension, dont la preuve se réduit comme précédemment au contrôle asymptotique de P_{1}(J, n, ε) et P_{2}(n, ε) définis par (27) et (28). On remarque d’abord que

P(Y_{n} ≥ \frac{ε}{4}) ≤ ∑_{k=1}^{k_{n}} P(|X_{n,k}| ≥ \frac{ε}{4}σ_{n,k}^{2α}),  (32)

ce qui grâce à (8) entraîne la convergence de P_{2}(n, ε) vers 0.

Notons A_{n} := { max_{1≤k≤k_{n}} |X_{n,k}| ≤ τσ_{n,k}^{2α}} = {Y_{n} ≤ τ}. En remarquant que sur cet évènement on a X_{n,k} = X_{n,k,τ} pour tout k = 1, …, k_{n}, on peut écrire

P_{1}(J, n, ε) ≤ P′_{1}(J, n, ε, τ) + P(A_{n}^{c}),

où

P′_{1}(J, n, ε, τ) := P\{ sup_{j≥J} 2^{αj} max_{r∈D_{j}}| ∑_{k=u(r^{−})+2}^{u(r)} X_{n,k,τ} | ≥ \frac{ε}{2}\}.

Par (32) et (8), P(A_{n}^{c}) converge vers 0. Il nous reste à étudier le comportement asymptotique de P′_{1}(J, n, ε, τ). Avant d’appliquer comme dans la preuve précédente l’inégalité de Rosenthal, il convient de remarquer qu’à la différence des X_{n,k}, les X_{n,k,τ} ne sont pas centrées.

Pour contrôler la contribution des EX_{n,k,τ} dans P′_{1}, on écrit grâce à une double application de l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

| ∑_{k=u(r^{−})+2}^{u(r)} EX_{n,k,τ} | ≤ ∑_{k=u(r^{−})+2}^{u(r)} (EX_{n,k}^{2})^{1/2}P^{1/2}(|X_{n,k}| ≥ τσ_{n,k}^{2α})

≤ [ ∑_{k=u(r^{−})+2}^{u(r)} σ_{n,k}^{2}]^{1/2}[ ∑_{k=1}^{n} P(|X_{n,k}| ≥ τσ_{n,k}^{2α})]^{1/2}.

De la définition de u(r) on tire

∑_{k=u(r^{−})+2}^{u(r)} σ_{n,k}^{2} ≤ r − r^{−} = 2^{−j}.  (33)

Par conséquent

sup_{j≥J} 2^{αj} max_{r∈D_{j}}| ∑_{k=u(r^{−})+2}^{u(r)} EX_{n,k,τ} | ≤ 2^{−J(1/2−α)}[ ∑_{k=1}^{n} P(|X_{n,k}| ≥ τσ_{n,k}^{2α})]^{1/2}.

Ce majorant est inférieur à ε/4 pour n ≥ n_{0}, où n_{0} dépend de ε et de τ mais pas de J. Ainsi pour n ≥ n_{0}, nous avons P′_{1}(J, n, ε, τ) ≤ P′′_{1}(J, n, ε, τ), avec

P′′_{1}(J, n, ε, τ) := P{ sup_{j≥J} 2^{αj} max_{r∈D_{j}}| ∑_{k=u(r^{−})+2}^{u(r)}(X_{n,k,τ} − EX_{n,k,τ})| ≥ ε/4}.

Nous pouvons maintenant appliquer l’inégalité de Rosenthal qui, avec la majoration élémentaire varX_{n,k,τ} ≤ EX_{n,k}^{2} et compte-tenu de (33), nous donne :

E| ∑_{k=u(r^{−})+2}^{u(r)}(X_{n,k,τ} − EX_{n,k,τ})|^{q} ≤ c2^{−jq/2} + c ∑_{k=u(r^{−})+2}^{u(r)} E|X_{n,k,τ} |^{q}.

Nous en déduisons

P′′_{1}(J, n, ε) ≤ \frac{4^{q}c}{ε^{q}} ∑_{j≥J} 2^{(qα+1−q/2)j} + \frac{4^{q}c}{ε^{q}} ∑_{j≥J} 2^{αqj} ∑_{r∈D_{j}} ∑_{k=u(r^{−})+2}^{u(r)} E|X_{n,k,τ} |^{q}.

En rappelant que q > p(α) et donc qα + 1 − q/2 < 0 et en utilisant (31), on arrive ainsi à

P′′_{1}(J, n, ε) ≤ C_{1}2^{(qα+1−q/2)J} + C_{2} ∑_{k=1}^{n} σ_{n,k}^{−2αq}E|X_{n,k,τ} |^{q},

avec des constantes C_{1} et C_{2} dépendant de α, q et ε. Notons que cette majoration est vérifiée pour tout τ > 0. On en déduit au vu des réductions successives de l’étude de P (J, n, ε) :

∀τ > 0, lim sup_{J→+∞} lim sup_{n→+∞} P (J, n, ε) ≤ C_{2} lim sup_{n→+∞} ∑_{k=1}^{n} σ_{n,k}^{−2αq}E|X_{n,k,τ} |^{q}.

Faisant tendre enfin τ vers 0, on obtient grâce à (10)

lim_{J→+∞} lim sup_{n→+∞} P (J, n, ε) = 0,

ce qui achève la preuve.

3.4 Preuve du théorème 4

Pour établir la convergence (15), on vérifie que les X_{n,k} = a_{n,k}X_{k} satisfont aux conditions du théorème 3. Notons que (13) n’est que la traduction de (8) dans le cas particulier des processus Ξ_{n} = Ξ_{a,n}.

La condition de Lindeberg (9) découle de (11), (12) et de la finitude de EX_{1}^{2} via l’inégalité

∑_{k=1}^{k_{n}} a_{n,k}^{2}EX_{1}^{2}1{|X_{1}| ≥ ε|a_{n,k}|^{−1}} ≤ EX_{1}^{2}1{|X_{1}| ≥ εd_{n}^{1/2}},

où

d_{n} := min_{1≤k≤k_{n}} a_{n,k}^{−2} = ( max_{1≤k≤k_{n}} a_{n,k}^{2})^{−1}.  (34)

Pour vérifier (10), on commence par remarquer que pour toute variable aléatoire positive Y et toute constante c > 0,

EY^{q}1{Y ≤ c} = ∫_{0}^{c} qt^{q−1}P(c ≥ Y ≥ t) dt ≤ ∫_{0}^{c} qt^{q−1}P(X ≥ t) dt. (35)

Les variables tronquées s’écrivent ici X_{n,k,τ} = a_{n,k}X_{k}1{|X_{k}| ≤ τ|a_{n,k}|^{2α−1}}. En appliquant (35) aux variables |a_{n,k}|^{1−2α}|X_{k}|, on obtient avec q > p = p(α),

∑_{k=1}^{k_{n}} σ_{n,k}^{−2αq}E|X_{n,k,τ} |^{q} = ∑_{k=1}^{k_{n}} E(|a_{n,k}|^{1−2α}|X_{k}|)^{q}1{|a_{n,k}|^{(1−2α)}|X_{k}| ≤ τ}

≤ ∫_{0}^{τ} qt^{q−1} ∑_{k=1}^{k_{n}} P(|X_{k}| ≥ t|a_{n,k}|^{2α−1}) dt

≤ \frac{Mq}{q − p}τ^{q−p}.

Comme q > p, la condition (10) est bien vérifiée et ceci termine la preuve de la convergence (15).

Montrons maintenant la nécessité de (13) pour cette même convergence. Par le théorème de l’image continue, la convergence en loi de Ξ_{a,n} vers W dans H_{α}^{o} donne pour tout δ > 0 :

w_{α}(Ξ_{a,n}, δ) ⟶_{n→+∞}^{loi} w_{α}(W, δ).  (36)

D’après (12), on a max_{1≤k≤n} a_{n,k}^{2} < δ pour tout n ≥ n_{0}(δ), ce qui nous permet de contrôler les accroissements de Ξ_{a,n} entre deux sommets consécutifs à l’aide du module de régularité hölderienne w_{α}(Ξ_{a,n}, δ). Plus précisément, on a

P\{ max_{1≤k≤n} |a_{n,k}X_{k}|a_{n,k}^{−2α} > u\} = P\{ max_{0<k≤n} \frac{|S_{n}(k) − S_{n}(k − 1)|}{a_{n,k}^{2α}} > u\}
≤ P\{ sup_{0<|t−s|<δ} \frac{|Ξ_{a,n}(t) − Ξ_{a,n}(s)|}{|t − s|^{α}} > u\}
= P{w_{α}(Ξ_{a,n}, δ) > u}.

Par la convergence (36)

lim sup_{n→+∞} P(w_{α}(Ξ_{n}, δ) > u) ≤ P(w_{α}(W, δ) > u).

On en déduit que pour tout δ > 0,

lim sup_{n→+∞} P{ max_{1≤k≤n} |a_{n,k}|^{1−2α}|X_{k}| > u} ≤ P(W, δ) > u).

Puisque P(w_{α}(W, δ) > u) tend vers 0 quand δ tend 0, on en déduit compte-tenu de l’indépendance des X_{k} que

lim_{n→+∞} ∑_{k=1}^{k_{n}} P(|X_{k}| > u|a_{n,k}|^{2α−1}) = 0,

ce qui donne (13) puisque les X_{k} ont même loi.

3.5 Preuve du corollaire 5

Afin d’établir la suffisance de (18) pour la convergence en loi de Ξ_{a,n} vers W dans H_{α}^{o}, on utilise le théorème 4. La condition (13) se vérifie en fait sous l’hypothèse (12) plus générale que (17), en procédant comme suit :

∑_{k=1}^{k_{n}} P{|X_{1}| ≥ ε|a_{n,k}|^{2α−1}} = ∑_{k=1}^{k_{n}} a_{n,k}^{2}a_{n,k}^{−2}P{|X_{1}| ≥ ε(|a_{n,k}|^{−2})^{1/2−α}}

≤ ∑_{k=1}^{k_{n}} a_{n,k}^{2} sup_{t≥|a_{n,k}|^{−2}} tP{|X_{1}| ≥ εt^{1/p(α)}}

≤ sup_{t≥d_{n}} tP{|X_{1}| ≥ εt^{1/p(α)}} ∑_{k=1}^{k_{n}} a_{n,k}^{2},

où d_{n} est défini par (34). Ce majorant tend vers zéro grâce à (11), (12) et (18). Comme ε est arbitraire, (13) est vérifiée. La vérification de (14) est immédiate grâce à la condition (17), en effet :

sup_{t>0} t^{p(α)} ∑_{k=1}^{k_{n}} P(|X_{1}| ≥ t|a_{n,k}|^{2α−1}) ≤ sup_{t>0} t^{p(α)}k_{n}P(|X_{1}| ≥ tβ^{α−1/2}k_{n}^{1/p(α)})
= β^{(1/2−α)α} sup_{u>0} u^{p(α)}P(|X_{1}| ≥ u).

Pour montrer la nécessité de (18) pour la convergence en loi de Ξ_{a,n} vers W dans H_{α}^{o}, on note simplement que d’après le théorème 4, cette convergence implique la condition (13). Cette dernière jointe à la minoration

∑_{k=1}^{k_{n}} a_{n,k}^{2}a_{n,k}^{−2}P(|X_{1}| ≥ ε|a_{n,k}|^{2α−1}) ≥ \frac{k_{n}}{γ} P(|X_{1}| ≥ εβ^{α−1/2}k_{n}^{1/p(α)}) ∑_{k=1}^{k_{n}} a_{n,k}^{2},

valable pour tout ε > 0, nous donne

lim_{k_{n}→+∞} k_{n}P(|X_{1}| ≥ k_{n}^{1/p(α)}) = 0.

Grâce à (16) et à la croissance de k_{n}, on en déduit facilement (18).

4 Application au bootstrap

Nous examinons maintenant une application des principes d’invariance hölderiens pour les tableaux triangulaires à la convergence hölderienne en loi de processus de sommes partielles construits sur un échantillon « bootstrapé ». Nous obtenons les C.N.S. de convergence presque-sûre ou en probabilité énoncées à la sous-section 4.1 et démontrées dans les sous-sections suivantes.

4.1 FCLT hölderiens sous bootstrap

Soient X_{1}, …, X_{n} des variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé (Ω, F, P), indépendantes, centrées et de même loi de fonction de répartition F. Nous notons F̂_{n} la fonction de répartition empirique correspondante. Soit X_{1}^{∗}, …, X_{n}^{∗} un échantillon « bootstrapé » de F̂_{n}, i.e. conditionnellement à X_{1}, …, X_{n}, les X_{1}^{∗}, …, X_{n}^{∗} sont des variables aléatoires indépendantes de même fonction de répartition F̂_{n}. Nous notons E^{∗} l’espérance conditionnelle sachant X_{1}, …, X_{n}.

Posons S_{n}^{∗}(0) := 0,

S_{n}^{∗}(t) := σ_{n}^{−1} ∑_{j≤t}(X_{j}^{∗} − \overline{X}_{n}), pour 0 < t ≤ n,

avec les notations classiques

\overline{X}_{n} := n^{−1}(X_{1} + ⋯ + X_{n}) et σ_{n}^{2} := n^{−1} ∑_{k=1}^{n}(X_{k} − \overline{X}_{n})^{2}.

Considérons la ligne polygonale aléatoire ξ_{n}^{∗}(t), t ∈ [0, 1], de sommets les points (k/n, n^{−1/2}S_{n}^{∗}(k)), k = 0, 1, …, n. Cette ligne polygonale étant doublement aléatoire, il convient de préciser le mode de convergence utilisé pour l’étude de son comportment asymptotique. Notons d une distance métrisant la convergence en loi dans H_{α}^{o}. Nous dirons que ξ_{n}^{∗} converge en loi en probabilité vers W dans H_{α}^{o} si d(ξ_{n}^{∗}, W) converge en probabilité vers 0 (avec un abus de notation puisque d(ξ_{n}^{∗}, W) désigne en fait la distance entre la loi de ξ_{n}^{∗} et celle de W, ces deux lois étant considérées comme des mesures sur la tribu borélienne de H_{α}^{o}). Nous noterons cette convergence par

ξ_{n}^{∗} ⟶_{n→+∞}^{loi−Pr} W dans H_{α}^{o}.

De même si d(ξ_{n}^{∗}, W) converge P-presque sûrement sur Ω vers 0, nous dirons que ξ_{n}^{∗} converge en loi presque sûrement vers W dans H_{α}^{o}, ce que nous noterons

ξ_{n}^{∗} ⟶_{n→+∞}^{loi−p.s.} W dans H_{α}^{o}.

Théorème 6. La condition de moment

E|X_{1}|^{p(α)} < ∞  (37)

est nécessaire et suffisante pour la convergence

ξ_{n}^{∗} ⟶_{n→+∞}^{loi−p.s.} W dans H_{α}^{o}.  (38)

Théorème 7. La condition

lim_{t→+∞} t^{p(α)}P(|X_{1}| > t) = 0  (39)

est nécessaire et suffisante pour la convergence

ξ_{n}^{∗} ⟶_{n→+∞}^{loi−Pr} W dans H_{α}^{o}.  (40)

4.2 Preuve du théorème 6

Pour établir la suffisance de (37), on applique le théorème 2, conditionnellement à X_{1}, …, X_{n}, en posant

X_{n,k} := n^{−1/2}σ_{n}^{−1}(X_{k}^{∗} − \overline{X}_{n}), k = 1, …, n.

Ici σ_{n,k}^{2} = E^{∗}X_{n,k}^{∗2} = n^{−1}, ce qui réduit la preuve de (38) à celle de la convergence

n^{qα−q/2}σ_{n}^{−q}nE^{∗}|X_{1}^{∗} − \overline{X}_{n}|^{q} ⟶_{n→+∞}^{p.s.} 0,  (41)

pour un q > p(α) > 2. L’existence du moment d’ordre 2 de X_{1} étant assurée par (37), la loi forte des grands nombres nous donne :

\overline{X}_{n} ⟶_{n→+∞}^{p.s.} 0 et σ_{n}^{2} ⟶_{n→+∞}^{p.s.} 1.

Ainsi (41) se réduit à

n^{qα−q/2}nE^{∗}|X_{1}^{∗}|^{q} = n^{−q/p(α)} ∑_{k=1}^{n} |X_{k}|^{q} ⟶_{n→+∞}^{p.s.} 0.  (42)

Par la loi forte des grands nombres de Marcinkiewicz-Zygmund, si (Y_{k})_{k≥1} est une suite i.i.d. telle que E|Y_{1}|^{β} < +∞ pour un β ∈]0, 1[, alors n^{−1/β}(Y_{1}+⋯+Y_{n}) converge presque sûrement vers 0. En choisissant Y_{k} = |X_{k}|^{q} et β = p(α)/q, il est alors clair que (42) est une conséquence de (37).

Supposons maintenant (38) vérifiée et montrons la nécessité de (37). D’après (38), la suite de processus (ξ_{n}^{∗})_{n≥1} est P-presque sûrement équitendue dans H_{α}^{o}. Il en résulte [8, Th. 1.4] que

p.s., ∀ε > 0, lim_{δ→0} sup_{n≥1} P^{∗}{w_{α}(ξ_{n}^{∗}, δ) > ε} = 0,

où P^{∗} est la probabilité conditionnelle à la suite (X_{n}). En particulier

p.s., w_{α}(ξ_{n}^{∗}, 1/n) ⟶_{n→+∞}^{P^{∗}} 0.

En considérant les accroissements pondérés de ξ_{n}^{∗} entre 2 sommets consécutifs, on en déduit :

p.s., max_{1≤k≤n} \frac{|ξ_{n}^{∗}(k/n) − ξ_{n}^{∗}((k − 1)/n)|}{(1/n)^{α}} ⟶_{n→+∞}^{P^{∗}} 0,

ce qui s’écrit aussi avec p = p(α),

p.s., max_{1≤k≤n} \frac{|X_{k}^{∗} − \overline{X}_{n}|}{n^{1/p}σ̂_{n}} ⟶_{n→+∞}^{P^{∗}} 0.

ou plus explicitement,

∀ε > 0, P( max_{1≤k≤n} \frac{|X_{k}^{∗} − \overline{X}_{n}|}{n^{1/p}σ̂_{n}} > ε | X_{1}, …, X_{n}) ⟶_{n→+∞}^{p.s.} 0.  (43)

Les X_{k}^{∗} étant conditionnellement à (X_{1}, …, X_{n}), indépendantes et de même loi,

(43) équivaut à

∀ε > 0, nP(|X_{1}^{∗} − \overline{X}_{n}| > εn^{1/p}σ̂_{n} | X_{1}, …, X_{n}) ⟶_{n→+∞}^{p.s.} 0.  (44)

On remarque maintenant que

P(|X_{1}^{∗} − \overline{X}_{n}| > εn^{1/p}σ̂_{n} | X_{1}, …, X_{n}) = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} 1\{|X_{k} − \overline{X}_{n}| > εn^{1/p}σ̂_{n}\},

d’où en reportant dans (44) :

∀ε > 0, ∑_{k=1}^{n} 1\{|X_{k} − \overline{X}_{n}| > εn^{1/p}σ̂_{n}\} ⟶_{n→+∞}^{p.s.} 0.

Cette somme d’indicatrices ne peut converger vers 0 que si elle est nulle à partir d’un certain rang (aléatoire), ce qui se traduit immédiatement par :

max_{1≤k≤n} \frac{|X_{k} − \overline{X}_{n}|}{n^{1/p}σ̂_{n}} ⟶_{n→+∞}^{p.s.} 0.  (45)

Vérifions maintenant que

\frac{|\overline{X}_{n}|}{n^{1/p}σ̂_{n}} ⟶_{n→+∞}^{p.s.} 0.  (46)

En notant que σ_{n}^{2} = n^{−1} ∑_{i=1}^{n} X_{i}^{2} − \overline{X}_{n}^{2}, on peut minorer le dénominateur par n^{1/p−1/2}(X_{1}^{2} + ⋯ + X_{n}^{2})^{1/2}. Au numérateur l’inégalité de Cauchy-Schwarz nous donne |X_{1} + ⋯ + X_{n}| ≤ n^{1/2}(X_{1}^{2} + ⋯ + X_{n}^{2})^{1/2}. Ainsi (46) résulte de la majoration

\frac{|\overline{X}_{n}|}{n^{1/p}σ̂_{n}} ≤ \frac{1}{n^{1/p}} .

De (45) et (46) on obtient immédiatement

\frac{max_{1≤k≤n} |X_{k}|^{2}}{n^{2/p−1}(X_{1}^{2} + ⋯ + X_{n}^{2})} ⟶_{n→+∞}^{p.s.} 0.  (47)

L’inégalité de Hölder suivante

∑_{k=1}^{n} X_{k}^{2} ≤ n^{1−2/p}( ∑_{k=1}^{n} |X_{k}|^{p})^{2/p}

nous permet finalement de déduire de (47) la convergence

\frac{max_{1≤k≤n} |X_{k}|^{p}}{|X_{1}|^{p} + ⋯ + |X_{n}|^{p}} ⟶_{n→+∞}^{p.s.} 0.

Par le lemme 4.1 de Maller et Resnik [7] on peut alors conclure à la finitude de E|X_{1}|^{p}.

4.3 Preuve du théorème 7

Comme dans la preuve du théorème 6, on établit la suffisance de (39) en vérifiant que

n^{qα−q/2}σ_{n}^{−q}nE^{∗}|X_{1}^{∗} − \overline{X}_{n}|^{q} ⟶_{n→+∞}^{P} 0,  (48)

pour un exposant q > p = p(α). Comme p(α) > 2, la condition (39) implique la finitude de EX_{1}^{2}. La loi faible des grands nombres nous donne alors les convergences en probabilité de \overline{X}_{n} vers 0 et de σ_{n}^{2} vers 1 qui réduisent la preuve de (48) à celle de

n^{qα−q/2}nE^{∗}|X_{1}^{∗}|^{q} = n^{−q/p} ∑_{k=1}^{n} |X_{k}|^{q} ⟶_{n→+∞}^{P} 0.

Cette dernière convergence découle de (39) par la loi faible des grands nombres de Marcinkiewicz-Zygmund.

Supposons maintenant (40) vérifiée, autrement dit

d(ξ_{n}^{∗}, W) ⟶_{n→+∞}^{P} 0,

pour une distance d métrisant la convergence en loi dans H_{α}^{o}. Alors de toute sous-suite d’indices (n′) ⊂ (n) on peut extraire une sous-suite (n′′) ⊂ (n′) telle que

d(ξ_{n′′}^{∗}, W) ⟶_{n′′→+∞}^{p.s.} 0.

Au vu de la preuve du théorème 7, la convergence p.s. (47) est alors vérifiée pour la sous-suite indexée par (n′′). Comme la sous-suite initiale (n′) était arbitraire, on en déduit

\frac{max_{1≤k≤n} |X_{k}|^{2}}{n^{2/p−1}(X_{1}^{2} + ⋯ + X_{n}^{2})} ⟶_{n→+∞}^{P} 0.  (49)

Comme p > 2, on déduit immédiatement de (49) que

\frac{max_{1≤k≤n} |X_{k}|^{2}}{(X_{1}^{2} + ⋯ + X_{n}^{2})} ⟶_{n→+∞}^{P} 0,

ce qui grâce au lemme 4.1 de Maller and Resnik [7] nous donne la finitude de E|X_{1}|^{2}. Revenant à (49) on en déduit que

\frac{max_{1≤k≤n} |X_{k}|}{n^{1/p}} ⟶_{n→+∞}^{P} 0,

ce qui est équivalent à (39). La preuve est ainsi complète.

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